Markus Overmars holenderski
informatyk i grafik komputerowy skonstruował na bazie
tangramu klasycznego bardzo kuriozalny tangram. Jego
tajemnica tkwi w tym, że przy jednym jego ułożeniu
użytych jest wszystkich siedem tan, ale przy innym jeden
tan pozostaje niepotrzebny. Czy mamy tu do czynienia z
paradoksem?
A może to zwykłe oszustwo?
Przypatrzmy
się uważnie temu tangramowi. Wydaje się na pierwszy
rzut oka, że wszystkie jego tany są identyczne, z
drugiej strony zaś pola ich wydają się być różne. A
może w obu przypadkach tany są trochę inne a tangramy
przystające?
Załóżmy, że bok kwadratu będącego
jednym z siedmiu segmentów ma długość równą 1.
Zmierz przy takim założeniu długości boków całego
wielokąta dla dwóch różnych ułożeń segmentów.
Jeśli mamy do czynienia z oszustwem, to w ten sposób go
wykryjesz.
W matematyce takie sytuacje nazywają się
ksenodoksami. Polegają one na tym, że oszustwo jest dokonane
poprzez grafikę komputerową. Wiadomo, że na linii prostej
wykreślonej na kartce papieru między dwoma jej punktami
znajduje się zawsze nieskończenie wiele innych punktów.
Natomiast na ekranie komputera miedzy dwoma sąsiednimi pikselami
nie ma już żadnego innego piksela. To powoduje, że kreśląc
ukośnie linię prostą kreślimy faktycznie punkty w kilku
liniach, co nadaje tej linii grubość. Kilka takich grubości
potrafi zmienić na tyle grafikę, że oko ludzkie nie dostrzega
oszustwa. Wydaje się nam, że dwie linie przecinają się w
danym punkcie, a tymczasem przecinają się one obok w punkcie,
którego o to nie posądzalibyśmy. W związku z tym pewne figury
wydają się nam być takimi samymi, a tymczasem różnią się
nieznacznie długościami boków, miar kątów i polami.
Twoim zadaniem jest pokazanie, że tangram
ten jest nieprawidłowo utworzony. Przyjmij w tym celu długość
boku jednego z segmentów
np. kwadratu za 1 i wyznacz długości innych boków tangramu i
na ich podstawie wykaż, że albo pola obu tangramów są różne
albo ich boki różnia się długościami. Przeslij rozwiązanie
zadania swojemu nauczycielowi (9).
